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Analysis - Funktionen mehrerer Veränderlicher

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Ökonomische Beispiele

Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

Materialverbrauch für einen Hohlraumquader

Berechnung der Kabellänge von p Orten mit einem Ort m

Hotelpreise

Grundbegriffe

y=f(x₁,x₂,...,x_n)

Definition: Eine eindeutige Abbildung, die jedem n-Tupel von Zahlen eindeutig eine relle Zahl zuordnet, heißt Funktion von n reellen Veränderlichen.

Durch Vorgabe eine Zielwertes y₀ kann die Funktion nach einer der anderen Veränderlichen umgestellt werden. Die daraus entstehende Funktion nennt man eine Höhenlinie (Niveaulinie, Isoquante) der Funktion y. Sie ist der geometrische Ort aller Punkte, die den Funktionswert y₀ haben.

Beispiel: Cobb-Douglas-Fkt.

Die Funktion ist nun nur noch von K  abhängig. Sie repräsentiert alle Werte für A und K deren Funktionswert gleich y₀ ist.

Beispiel: Volumen einer Konservendose

Die Funktion ist nun nur noch von r abhängig. Sie repräsentiert alle Werte für h und r deren Volumen gleich V₀ ist.

Definition: Eine Funktion f(x) mit x=(x_1,..,x_n) heißt stetig in einem Punkt a=(a_1,...,a_n) auf dem Definitionsbereich, wenn gilt:

Beispiel: Materialverbrauch für einen Hohlraumquader

D_f={(x,y): x>0,y>0}

f(x,y) ist auf D_f stetig.

Beispiel:

Partielle Ableitung

Bei der partiellen Ableitung werden alle Veränderlichen, bis auf eine Konstant gesetzt und dann nach dieser einen Veränderlichen abgeleitet. Die Veränderliche, nach der abgeleitet wird, schreibt man tiefgestellt an die Funktion.

Partielle Ableitung erster Ordnung (1. Ableitungen):

Beispiel: Materialverbrauch für einen Hohlraumquader

Die Ableitung nach x ergibt dabei den Anstieg der Tangente, die parallel zur x-z-Ebene verläuft. Die Ableitung nach y demnach den Anstieg der Tangente parallel zur y-z-Ebene.

Gleichzeitig gibt die erste Ableitung auch wieder die absolute Elastizität der Funktion an. Das heißt, die Ableitung nach x ergibt näherungsweise den Wert, um den sich f(x,y) bei einer Erhöhung von x um 1 verändern wird, unter der Voraussetzung, das y konstant ist.  Analog gibt die Ableitung nach y an, um wie viel sich f(x,y) verändern wird, wenn y um 1 erhöht wird.

Partielle Ableitungen zweiter Ordnung (2. Ableitung):

Bei der zweiten Ableitung kann wieder nach den verschiedenen Veränderlichen abgeleitet werden. Dabei wird die Veränderliche, nach der abgleitet wird, wieder tiefgestellt neben die Funktion geschrieben, neben die Veränderliche, nach der bei der ersten Ableitung abgeleitet wurde.

Beispiel: Materialverbrauch für Hohlquader (1. Ableitung siehe oben)

Totales und partielles Differential

Partielle relative Elastizität

Die partielle Elastizität gibt hier a, um wie viel Prozent sich f(x₁..x_n) verändert, wenn x_i um 1% erhöht wird und alle weiteren Veränderlichen konstant bleiben.

Beispiel: Cobb Douglas-Funktion

èBei einer Erhöhung des Kapitals um 1% steigt die Produktion genau um a%.

Partielles Differential

Mit dem partiellen Differential wird näherungsweise die absolute Veränderung der Funktion (dy) angegeben, wenn man eine Veränderliche x_i um den Wert dx_i verändert und alle anderen Veränderlichen konstant setzt.

Totales Differential

Das totale Differential gibt die näherungsweise absoluteVeränderung der Funktion (dy) an, die eintritt, wenn jede Veränderliche x_i um dem Wert dx_i verändert wird, wobei i={1..n}.

Der Gradient

Der Gradient von f im Punkt a=(a₁,a₂,..,a_n) ist ein Vektor, dessen Komponenten die Werte der partiellen Ableitungen in diesem Punkt sind. Dieser Vektor zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion f.

Der Gradient steht jeweils senkrecht zur Höhenlinie der Funktion. Will man die Richtung des geringsten Anstiegs von f ermitteln, ist die Richtung des Vektors umzukehren, d.h. er ist mit „–1“ zu multiplizieren.

Mit Hilfe des Gradienten kann man auch das totale Differential darstellen. Dieses setzt sich aus dem Skalarprodukt des Gradienten mit dem Vektor der Veränderungen der einzelnen Veränderlichen zusammen.

Relative Extrema für Funktionen mit zwei Veränderlichen

Bei der Ermittlung der Nullstellen bei der notwendigen Bedingung werden beide Gleichungen als Gleichungssystem mit zwei Veränderlichen betrachtet.

Beispiel

Sollte die notwendige, nicht jedoch die hinreichende Bedingung erfüllt sein, so handelt es sich nicht um ein Extrema, sondern um einen Sattelpunkt. Wendepunkte sind bei solchen Funktionen nicht exakt ermittelbar, jedoch stellt jeder Sattelpunkt auch einen Wendepunkt dar.

Extrema unter Nebenbedingungen

Beispiel: