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Auswertungsmethoden für eindimensionales Datenmaterial

Merkmalsarten

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Man unterscheidet zwischen qualitativen (in Worten beschriebenen) und quantitativen (in Zahlen beschriebenen) Merkmalen.

Skala: relationsgetreue Abbildung der Merkmalsausprägung auf eine Menge von Zeichen oder Zahlen

Intervall und Verhältnisskala = Kardinalskala

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Relative Häufigkeiten und empirische Verteilungsfunktion

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Merkmal x: x₁,x₂,...,x_n          n=Anzahl der Beobachtungswerte

Merkmalsausprägungen (Werte, die ein Merkmal annehmen kann): a₁,...,a_m      (m=Anzahl der Ausprägungen)

Absolute Häufigkeit von a_i: n₁,..,n_m

Relative Häufigkeit von a_i:

Kumulierte relative Häufigkeit:

Empirische Verteilungsfunktion: F(x) mit x e R

Beispiel:

Dauer der Bearbeitung von Überweisungsaufträgen in Tagen:

Beobachtungswert (x₁,..,x₁₀)=(2;1;2;2;4;1;0;6;4;2)

Sortiert: (x₁,..,x₁₀)=(  0;1;1;2;2;2;2;4;4;6)

Absolute Häufigkeit (a₁,...,a₅ , da 5 verschiedene Werte mgl.): (a₁,...,a₅)=(1;2;4;2;1)

Relative Häufigkeit: (f₁,...,f₅)=(0,1; 0,2; 0,4; 0,2; 0,1)

Kumulierte relative Häufigkeit: (f₁,...,f₅)=(0,1; 0,3; 0,7; 0,9; 1)

Empirische Verteilungsfunktion:

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Maßzahlen zur Charakterisierung der Verteilung

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Zentralwert / Median:

x_0,5 = Wert den 50% der Beobachtungswerte nicht überschreiten und der von den restlichen 50% nicht unterschritten wird

Beispiel: Überweisungsaufträge (s.o.):

Beobachtungswerte (sortiert): (x₁,..,x₁₀)=(0;1;1;2;2;2;2;4;4;6)

Zwischen dem 5. und 6. Wert liegt die Mitte. Die Hälfte der Werte liegt darüber und die andere Hälfte liegt darunter. x_0,5 ist demnach das arithmetische Mittel von x₅ und x₆.

Bedingung: Werte sind nicht gruppiert und der Größe nach angeordnet!!!

x_0,5 =2

Quantil /Häufigkeitswert

p-Quantil =x_p = Wert der von p% der Beobachtungswerte nicht überschritten und von (1-p)% der Werte nicht unterschritten wird

Beispiel: Überweisungsaufträge (s.o.):

Beobachtungswerte (sortiert): (x₁,..,x₁₀)=(0;1;1;2;2;2;2;4;4;6)

Zwischen dem 5. und 6. Wert liegt die Mitte. Die Hälfte der Werte liegt darüber und die andere Hälfte liegt darunter. x_0,5 ist demnach das arithmetische Mittel von x₅ und x₆.

X_0,25 ist nun die Hälfte von x_0,5, also x₃ und x_0,75 die ein viertel oberhalb also x_8.

Bedingung: Werte sind nicht gruppiert und der Größe nach angeordnet!!!

x_0,5 =2
x_0,25 =1
x_0,75 =4

Der Boxplot

Im Boxplot werden Extremwerte untergewichtet, ebenso in Quantilen. Es ergibt sich somit ein objektiveres Bild, da keine Verfälschung durch Ausreißer entstehen kann.

Quantile in gruppierten Daten

Beispiel: Bruttomonatsverdienst in den alten Ländern

Gesucht: x_0,25

X_0,25 muß sich in der Gruppe befinden, in der die kumulierte Häufigkeit 25% übersteigt.

èGruppe 2000-4000 ist die gesuchte

Alle Werte unterhalb dieser Gruppe zählen bereits zu den 25%. Der Wert der kumulierten Häufigkeit bis 2000,- beträgt rund 0,3%. Es werden also noch 24,7% von 100% der Werte benötigt. Die Gruppe enthält jedoch 33,56%. Damit werden nur anteilig die Werte der Gruppe gebraucht. In Prozent ist dies:. Unter der Annahme, dass die Werte innerhalb der Gruppe gleich verteilt sind ergibt sich folgender Zusammenhang: von der Bandbreite von 2000,- in dieser Gruppe werden nur 73,5% benötigt, das sind 1470,- DM. Dem muß dann noch der Wert von 2000,-, also die untere Gruppengrenze hinzuzurechnen. Damit ist x_0,25 = 3470.

Interpretation: 25% der Menschen haben ein Einkommen, was unter 3470,- DM liegt.

Allgemeine Formel:

Im obigen Beispiel ist demnach:

p-Quantil= F(x_p)˜p, der Wert, bei dem die kumulierte Häufigkeit den Wert p erreicht.

Arithmetisches Mittel

Problem: Extremwerte beeinflussen den Mittelwert relativ stark èMedian als bessere Größe

Arithmetisches Mittel aus gruppierten Daten

Die einzelnen arithmetischen Mittel jeder Gruppe werden mit ihrer Gewichtung multipliziert. Alle diese Werte werden dann addiert.

Quantil und arithmetisches Mittel bezeichnet man auch als Lageparameter.

Streuungsparameter

Spannweite: W= x_max - x_min

Differenz zwischen dem kleinsten und dem größten Wert.

Problem: Einfluß der Extremwerte sehr hoch.

Quartilabstand: D= x_0,75 – x_0,25

Spannweite der mittleren 50%. èExtremwerte bleiben unbeachtet

Durchschnittliche absolute Abweichung (i.d.R. vom Median):

Interpretation: Die durchschnittliche Abweichung aller Werte vom Median beträgt d.

Varianz:

Quadrierter Abstand zum arithmetischen Mittel.

Standardabweichung:

Interpretation: Die durchschnittliche Abweichung aller Werte vom arithmetischen Mittel beträgt s.

Variationskoeffizient:

Relative Abweichung. Interpretation: Im Mittel weichen die Beobachtungswerte um v% vom arithmetischen Mittel ab.

Eigenschaften

y_i = x_i+a       (zu jedem Wert wird ein konstanter Wert a hinzuaddiert)

è

y_i= b*x        (jeder Wert wird mit b multipliziert)

è

z_i= x_i+y_i

è