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Nutzenfunktion
Der Nutzen ist abhängig vom Verbrauch
der Güter x1 und x2.
è
U=f(x1,x2)
Diese Funktion ergibt im Raum ein Gebirge,
dass mit zunehmendem x1 und x2 wächst, bzw. im Ursprung
seinen Tiefpunkt hat.
Durch Partialanalyse erhält man den Nutzen
eines Gutes, wobei das zweite Gut konstant bleibt (x1 oder x2
konstant setzen). Desweiteren lässt sich durch Konstantsetzen von U eine
Kurve ermitteln, die alle gleichwertigen (indifferenten) Kombinationen von x1
und x2 enthält, die denselben Nutzen haben.
èDie
Indifferenzkurve ist eine Nutzenfunktion mit konstantem U
Das Nutzengebirge:
Die Gossen´schen
Gesetze
Graph der partiellen Nutzenfunktion nach x2
èx2 = konstant
è1.
Gossen´sches Gesetz: |
Der Nutzenzuwachs
ist bei Mehrverbrauch ist immer positiv, jedoch mit abnehmender
Zuwachsrate |
è2.
Gossen´sches Gesetz: |
Der Grenznutzen
der Güter dividiert durch den Preis des jeweiligen Gutes ist
im Optimum für alle Güter identisch. Der Nutzenzuwachs
ist für alle Güter indifferent. èDer
Haushalt kann sich nicht entscheiden èEin
Nutzengleichgewicht (Konsumoptimum) der Güter ist erreicht.
èDer
Grenzwert des Geldes ist für alle Güter im Optimum gleich. |
Die partielle
Nutzenfunktion für ein konstantes Nutzenniveau
Es ergibt sich beim Konstantsetzen von U eine
Indifferenzkurve = eine Linie gleichen Nutzenniveaus.
Gründe für die Form der Kurve:
Mehrverbrauch mit fallendem Nutzenniveau
ist nicht möglich (Axiom 4)
Krümmung begründet durch
abnehmende Grenzrate der Substitution (Axiom 6)
Kurve gilt für, zumindest teilweise,
substituierbare Güter
Bei perfekten Substituten wird die
Indifferenzkurve zur Gerade, da es egal ist, welches der beiden Güter
man gegen welches eintauscht. Die Güter werden zu jedem Zeitpunkt in
einem festen Verhältnis getauscht. Graph:
Komplementäre Güter
ènicht austauschbare Güter:
Diese Güter können nicht gegeneinander ausgetauscht werden, da
sie beide stets in einem bestimmten Verhältnis gebraucht werden. Bsp.:
bei einem Paar Schuhe macht es keinen Sinn, den rechten Schuh gegen einen
weiteren linken einzutauschen, da nur ein linker mit einem rechten Schuh
gemeinsam Sinn machen. Graph:
Nur gemeinsame Verbrauchsmengen im stets gleichen
Verhältnis bringen Nutzenzuwachs.
Unterstellung, das bei einem Mehr
an Konsum der Nutzen gleich bleibt:
Graph:
Interpretation:
A<B<C (bezogen auf den
Nutzen)
C= Bliss point = Punkt des höchsten
Nutzens= Nutzenmaximum
D=B vom Nutzen, trotz Güterzuwachs
(Axiom 4 gilt nicht)èdurch
eine Kostenbetrachtung wird D zu teuer und damit ökonomisch nicht
relevant
Zwischen B und C entstehen zwar
auch höhere Kosten, die jedoch durch einen Nutzenzugewinn ausgeglichen
werden
èNur
der markierte Bereich ökonomisch relevant
Indifferenzkurven dürfen sich
nicht schneiden. Graph:
Es gilt: A=B und A=C (vom Nutzen)
Damit müsste
nach Axiom 4 gelten: B=C
Nach dem Graph gilt jedoch: B>C
èVerstoß
gegen Axiom 4
èSchnittpunkte
nicht erlaubt.
Der optimale Verbrauchsplan
Der Verkaufsplan ist eine Kombination aus
Bilanzgerade und Indifferenzkurve in einem Diagramm:
Alle Schnittpunkte der Bilanzgeraden
mit den Indifferenzkurven stellen mögliche Kombinationen dar
A=B=C, jedoch wird bei B nicht alles
konsumiert èVerstoß
gegen die Nebenbedingung c=x1*p1 + x2*p2èPunkte unterhalb der Bilanzgerade
irrelevant
Ziel: höchstmögliche Indifferenzkurve
erreichen èim Beispiel:
D
Oberhalb der Bilanzgerade ist der
maximale Konsum überschritten èirrelevant
Bei perfekten Substituten, kann
nut das Nutzenniveau, nicht jedoch die Kombination der Güter festgestellt
werden, da zu viele gleichwertige Kombinationen entstehen.
èDeckung
von Bilanzgerade und Indifferenzkurve
Analytische Berechnung
Ermittlung eines Extremwertes unter Nebenbedingungen
nach dem Langrange-Multiplikationsverfahrens:
Funktion: U = f(x1,x2)
= x12*x2 (Beispiel)
Nebenbedingung: c=x1*p1
+ x2*p2 (c=60;
p1=4; p2=1)
Umstellung der Nebenbedingung (eine Seite=0):
0=c - x1*p1 - x2*p2 = 60 – 4 * x1
- x2
Langrangefunktion:
Alternativ kann man auch in das 2. Gossen´sche
Gesetz einsetzen und dann nach einer Variablen umstellen, und diese dann in
die Nebenbedingung einsetzen: