Weitere Skripte und mehr findet ihr auf meiner Homepage. Bitte wählt eine Kategorie!


Verteilungsparameter und Grenzwertsätze


Erwartungswert

Diskrete Zufallsvariable

Beispiel: Gewinn bzw Verlust einer Risikolebensversicherung mit Todesfallsumme 100000 und Jahresbeitrag 500

Sterbewahrscheinlichkeit = 0,2%

Ereignisse:

k1=500                   pk1=P(X=k1)=0,998

k2=-99500                    pk2=P(X=k2)=0,002

EX=500*0,998+(-99500)*0,002=300

èDer erwartete Ertrag liegt bei 300

Stetige Zufallsvariable

 

Beispiel: Erwartungswert bei der Gleichverteilung

Eigenschaften des Erwartungswertes

-      Y=X+a èEY=EX+a

-      Y=b*X  èEY=b*EX

-      Z=X+YèEZ=EX+EY


Varianz und Standardabweichung

Varianz: VAR(X)=E(X-EX)2, mit EX=konst.

Standardabweichung:

Diskrete Zufallsvariablen

Beispiel: Risikolebensversicherung (Daten siehe oben)

VAR(X)=(500-300)2*0,998+(-99500-300)2*0,002=199600002

èdie tatsächlichen Erträge schwanken im Mittel um 4467,66 um den Erwartungswert èStandardabweichung ist somit ein Risikomaß (Volatilität)

Stetige Zufallsvariable

Beispiel: Gleichverteilung (EX=(a+b)/2)

Eigenschaften der Varianz

-      VAR(X) = EX2 (EX)2

-      Y=a+X        èVAR(Y)=VAR(X)

-      Y=b*X        èVAR(Y)=b2*VAR(X)

-      Z=X+Y        èwenn X und Y stochastisch unabhängig, dann gilt: VAR(Z)=VAR(X)+VAR(Y)


Grenzwertsätze

Gesetz der großen Zahlen

Eine Folge von Zufallsvariablen X1..Xn, die stochastisch unabhängig  und identisch verteilt sind und einen Erwartungswert EXi= hat, strebt im arithmetischen Mittel bei hinreichend großem n gegen .

è

Beispiele:

Zahl der Unfälle pro Tag. Wenn im Mittel   Unfälle pro Tag passieren, so wird bei einer hinreichend großen Anzahl von Tagen das arithmetische Mittel der Unfälle sich  nähern.

 

Gleiches gilt für die Wahrscheinlichkeit eines ungedeckten Schecks. Ist die Wahrscheinlichkeit im Mittel p dann wird sich das Mittel der geplatzenSchecks bei einer hinreichend großen Zahl diesem Wert p nähern.

Zentraler Grenzwertsatz

X1..Xn sind stochastisch unabhängig und identisch verteilt mit Xi=

 

Es gilt für ein hinreichend großes n:

-      Die Summe der Xi ist näherungsweise normalverteilt mit Y=EX1..EXn und EYn=n*. Es gilt weiterhin:

 

Beispiel: Schecks:

-      Ein Kaufhaus erhält am Tag 900 Schecks

-      Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Scheck ungedeckt ist: p=P(ungedeckt)=0,02

-      Gesucht: P(X<10) èWahrscheinlichkeit, dass unter den 900 Schecks max. 10 ungedeckt sind

-      X entspricht einer Binomialverteilung mit n=900 und p=0,02

-      Einsetzen in die Formel der Normalverteilung nicht sinnvoll

-      Daher X=X1+...+Xn mit Xi={0, wenn gedeckt und 1, wenn ungedeckt}

-      X ist näherungsweise normalverteilt, da stochastisch unabhängig
è , d.h. erwartet werden 18 ungedeckte Schecks

-      Varianz:  (Formel lt. Tafelwerk, für Binomialverteilung)

-      Nach dem zentralen Grenzwertsatz genügt X einer Normalverteilung, d.h. P(X<10) wird über die Normalverteilung ermittelt
èNormierung von X:
è, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 10 Schecks ungedeckt sind, liegt bei 2,9%.