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Beispiel: Gewinn bzw Verlust einer Risikolebensversicherung mit Todesfallsumme 100000€ und Jahresbeitrag 500€
Sterbewahrscheinlichkeit = 0,2%
Ereignisse:
k1=500€ pk1=P(X=k1)=0,998
k2=-99500€ pk2=P(X=k2)=0,002
EX=500*0,998+(-99500)*0,002=300
èDer erwartete Ertrag liegt bei 300€
Beispiel: Erwartungswert bei der Gleichverteilung
- Y=X+a èEY=EX+a
- Y=b*X èEY=b*EX
- Z=X+YèEZ=EX+EY
Varianz: VAR(X)=E(X-EX)2, mit EX=konst.
Standardabweichung:
Beispiel: Risikolebensversicherung (Daten siehe oben)
VAR(X)=(500-300)2*0,998+(-99500-300)2*0,002=19960000€2
èdie tatsächlichen Erträge schwanken im Mittel um 4467,66€ um den Erwartungswert èStandardabweichung ist somit ein Risikomaß (Volatilität)
Beispiel: Gleichverteilung (EX=(a+b)/2)
- VAR(X) = EX2 – (EX)2
- Y=a+X èVAR(Y)=VAR(X)
- Y=b*X èVAR(Y)=b2*VAR(X)
- Z=X+Y èwenn X und Y stochastisch unabhängig, dann gilt: VAR(Z)=VAR(X)+VAR(Y)
Eine Folge von Zufallsvariablen X1..Xn, die stochastisch unabhängig und identisch verteilt sind und einen Erwartungswert EXi= hat, strebt im arithmetischen Mittel bei hinreichend großem n gegen .
è
Beispiele:
Zahl der Unfälle pro Tag. Wenn im Mittel Unfälle pro Tag passieren, so wird bei einer hinreichend großen Anzahl von Tagen das arithmetische Mittel der Unfälle sich nähern.
Gleiches gilt für die Wahrscheinlichkeit eines ungedeckten Schecks. Ist die Wahrscheinlichkeit im Mittel p dann wird sich das Mittel der geplatzenSchecks bei einer hinreichend großen Zahl diesem Wert p nähern.
X1..Xn sind stochastisch unabhängig und identisch verteilt mit Xi=
Es gilt für ein hinreichend großes n:
- Die Summe der Xi ist näherungsweise normalverteilt mit Y=EX1..EXn und EYn=n*. Es gilt weiterhin:
Beispiel: Schecks:
- Ein Kaufhaus erhält am Tag 900 Schecks
- Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Scheck ungedeckt ist: p=P(ungedeckt)=0,02
- Gesucht: P(X<10) èWahrscheinlichkeit, dass unter den 900 Schecks max. 10 ungedeckt sind
- X entspricht einer Binomialverteilung mit n=900 und p=0,02
- Einsetzen in die Formel der Normalverteilung nicht sinnvoll
- Daher X=X1+...+Xn mit Xi={0, wenn gedeckt und 1, wenn ungedeckt}
- X ist näherungsweise
normalverteilt, da stochastisch unabhängig
è , d.h. erwartet werden 18 ungedeckte Schecks
- Varianz: (Formel lt. Tafelwerk, für Binomialverteilung)
- Nach dem zentralen
Grenzwertsatz genügt X einer Normalverteilung, d.h. P(X<10) wird über
die Normalverteilung ermittelt
èNormierung von X:
è, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als
10 Schecks ungedeckt sind, liegt bei 2,9%.
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