---

Vektoren und Matrizen

---

Vergleichsoperationen, Addition und Subtraktion

• Matrix = rechteckiges Zahlenschema
• Bezeichnung mit lateinischen Großbuchstaben
  
• Elemente der Matrix werden in Kleinbuchstaben angeben
  èa₁₂= das Element der Matrix, was in der 1. Spalte in der 2. Zeile steht
• Typ der Matrix: m x n (Spalten x Zeilen)
• Rechenoperationen mit Matrizen:
  • Vergleich von Matrizen:
    • Gleicher Typ erforderlich
    • Gleiche Matrizen stimmen elementweise überein
      A=B è a_ij=b_ij
    • A<B, wenn a_ij<b_ij
    • A>B analog
    • A<=B, wenn a_ij<=b_ij
    • A>=B analog
    • èes wird deutlich, dass z.T. keine klare Größenrelationsangabe möglich ist, sondern nur die Angabe, dass zwei Matrizen ungleich sind
  • Addition und Subtraktion
    • Gleicher Typ erforderlich
    • A=(a_ij) und B=(b_ij) Typ: m x n
    • C= A+B èc_ij= a_ij + b_ij 
    • Subtraktion analog
  •  Multiplikation mit einem Skalar
    • Spezialfall der Addition: C= A+A+A = k * A
      èc_ij = k*a_ij
    • allgemein: D=
  • Es gelten folgende Rechenregeln:
    • A+B = B+A (Kommutativgesetz)
    • A+0 = A (0=Nullmatrix )
    • A+B+C = (A+B)+C = A+(B+C) (Assoziativgesetz)
    • a*(A+B) = aA+aB und (a+b)*A = aA+bA (Distributivgesetz)
    • A-B = A+ (-1)B

Beispiel:

Multiplikation von Matrizen

• Grundprinzip der Multiplikation: Zeile mal Spalte!!!
• Matrix mal Spaltenvektor (Spaltenvektor ist ein vertikaler Vektor!)
  • b= Ergebnisvektor
  • A= Matrix (Typ m x n)
  • x=Spaltenvektor mit n Zeilen
  •  mit
  • z.B. b₃ bei einer 3 x 3 Matrix A setzt sich zusammen aus: b₃=a₃₁*x₁+a₃₂*x₂+a₃₃*x₃
  • Die Summe der Zeile eines Vektors erhält man durch Multiplikation mit dem Vektor
• Zeilenvektor mal Matrix (Zeilenvektor ist ein horizontaler Vektor)
  • c^T=y^T * A
  • c^T = Zeilenvektor bzw. transponierter Spaltenvektor
  •  mit
  • Die Summe der Spalte eines Vektors erhält man durch Multiplikation mit dem Vektor
  • z.B. c₃ bei einer 3 x 3 Matrix A setzt sich zusammen aus: c₃=a₁₃*y₁+a₂₃*y₂+a₃₃*y₃
• Matrix mal Matrix
  • 
  • c_ij= i-te Zeile von A * j-te Spalte von B =
  • c₂₃ = 2. Zeile von A mit der 3. Spalte von B elementweise verknüpft
    = a₂₁*b₁₃ + a₂₂*b₂₃ + .... +a_2n*b_n3

Rechenregeln bei der Multiplikation

• A*I_n=A*I_m = A   mit I=Einheitsvektor ()
• A*0 = 0*A = 0 (0=Nullmatrix)
• A*(B+C) = AB +AC
• (A+B)*C = AC +BC
• A(BC) = (AB)C = ABC
• Aber: es gilt nicht AB=BA

Transponierte Matrix

• A^T = transponierte Matrix, d.h. Zeilen und Spalten von A wurden vertauscht
• Ist die transponierte Matrix gleich der Originalmatrix, dann gilt sie als symmetrische Matrix
• Beispiel:

Division von Matrizen

• A^-1 = inverse Matrix von A ègibt es nur für quadratische Matrizen
• Es gilt: A*A^-1=A^-1*A=I
• Gleichung: A*B=C
• Ermittlung von A: A*B*B^-1=C*B^-1 (Multiplikation von rechts) èA=C*B^-1
• Ermittlung von B: A^-1*A*B = A^-1*C (Multiplikation von links) èB=A^-1*C
• Bestimmung der inversen Matrix für eine 2x2 Matrix:
  • 
  •