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Folgen und Reihen

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Beispiele

a)      Gehaltsentwicklung eines neu eingestellten Mitarbeiters
Anfangsgehalt: 4000,-DM
Alle drei Monate erfolgt eine Erhöhung um 50,-DM
è Zahlenfolge der Gehälter: 4000,4000,4000,4050,4050,4050,4100,4100,...
è Dies ist eine Folge {a_n}, wobei a_n die Glieder der Folge sind
Daraus gilt es nun eine Vorschrift zu entwickeln:
1. Variante – Ermittlung eines Folgegliedes
a_n+1=a_n, wenn n nicht durch 3 teilbar, sonst a_n+1=a_n+50
2. Variante – Allgemeine Vorschrift
a_n = Jahresgehalt+[(n-1)*?]*50, wobei [..] für den ganzzahligen Anteil dieser Operation steht
è a_n=4000+[(n-1)*?]*50

b)      Hausratsversicherung
Startbeitrag: 150DM
Dynamisierung: 3%

è a_n+1=a_n*1,03
è a_n=150*1,03^n-1

Arithmetische Folgen und Reihen

Beispiel

Startgehalt eines Arbeiters ist 4000DM

Erhöhung um 50DM alle 3 Monate

Gesucht ist das Jahresgehalt è a_n = Jahresgehalt im n-ten Jahr

Jahresgehalt= Startgehalt*12 + 3*50 (erste Erhöhung) + 3* 100 (zweite Erhöhung) + 3*150 (dritte Erhöhung)

è a₁=12*4000+3*50+3*100+3*150=48900DM

è a₂=12*4200+3*50+3*100+3*150=51300DM
è a₃=12*4400+3*50+3*100+3*150=53700DM

èDas Grundgehalt wächst pro Jahr um 200DM (4 Erhöhungen a 50DM) und während des Jahreskommen noch 900DM an Zahlungen durch die Erhöhungen hinzu.

èa_n+1=a_n+2400
èa_n=48900+(n-1)*2400

Beispiel

Abschreibungen eines Gerätes

Neupreis: 96000DM

Wertverlust im ersten Jahr: 12,5%

Der Wertverlust verringert sich in den Folgejahren um jährlich 800DM

a_n=Abschreibung im n-ten Jahr

è a_n=12000 (Abschreibung im ersten Jahr) – (n-1)*800

Daraus ergibt sich, dass der Restwert wiefolgt berechnet wird:

è R_n= 96000-(a₁+a₂+...+a_n)

                     Summe der Abschreibungen
                     Dies ist eine arithmetische Reihe

S_n=a₁+...+a_n

S_n=12000-12000-800-12000-1600-12000-2400-...

S_n=12000-800*(0+1+2+3+4+...+(n-1))

ès_n=12000-800*(n-1)*n/2

Geometrische Folgen und Reihen

Beispiel

Festzinssparen eines Betrages von 10000DM bei jährlich 5% Zinsen

a_n=Guthaben nach n Jahren

èa_n+1=a_n*1,05 è q=a_n+1/a_n=konst.

Wann haben sich die 10.000DM aus dem Festzinssparen um 50% erhöht?

èa_n=10.000*1,5=15000

Rechenweg:

15000=10000*1,05^n-1     |:10000

1,5=1,05^n-1                      |ln

ln(1,5)=(n-1)*ln(1,05)     |:ln(1,05)

ln(1,5)/ln(1,05)=n-1         |+1

9,31=n

è Der Wertzuwachs um 50% ist nach 10 Jahren erreicht.

Beispiel: Bausparbetrag

Ansparphase: Zinssatz=2,5%; Einzahlung 2000DM am Anfang des Jahres

Gesucht ist das Guthaben nach n-Jahren

q=1,025

a=2000

è s_n= a*q^n-1        +    a*q^n-2    +    a*q^n-3    +    ...    +    a*q⁰

             1.Jahr            2.Jahr         3.Jahr                     n-tes Jahr

Der Exponent gibt jeweils an, wie viel mal das Geld verzinst worden ist. Im n-ten Jahr ist noch keine Verzinsung erfolgt, so das der Exponent hier gleich Null ist.

Um nun eine Vorschrift zu bilden multipliziert man die obere Formel mit q.

è (1)   s_n=        a      +    aq   +    aq²  +    ...    +    aq^n-1

      (2)   s_n*q=           +    aq   +    aq²  +    ...    +    aq^n-1      +    aqⁿ

(2)-(1)   s_n*q-s_n=      a*qⁿ-a

è s_n*(q-1)  =    a*(qⁿ-1)

ès_n           =    a*(qⁿ-1) / (q-1)

Somit ergeben sich als Guthaben nach 5 bzw. 10 Jahren:

N=5:      s_n=10512,66

N=10:    s_n=22406,76

Wann ist eine Summe von 30000DM angespart?

s_n=30000

30000    =    2000* (1,025ⁿ-1) / (1,025-1)       |:2000

15          =    (1,025ⁿ-1) / 0,025                 |*0,025; +1
1,375     =    1,025ⁿ                                   |ln

ln(1,375)=    n*ln(1,025)                            |:ln(1,025)

n            = 12,896

è Nach 13 Jahren ist ein Betrag von 30.000DM angespart.

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Zinseszinsrechnung

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Verzinsung einmaliger Einzahlungen

Jährliche Verzinsung

Beispiel: Bundesschatzbriefe über einen Zeitraum von 6 Jahren

Verzinsung:

Gesucht ist das Endkapital nach 6 Jahren.

Anlagebetrag: 20000

Der angesparte Betrag ist nach der Berechung mit den 6 verschiedenen Zinswerten 24112,19.

Nach dem Einsetzen in die Formel für den effektiven Zinssatz erhält man einen effektiven Zins von 3,1655%.

Unterjährige Verzinsung

è Das Kapital nach 4 Jahren und zwei Zinsperioden ist k_2,5. Die „2“ steht dabei für die 2 Zinsperioden, die „5“, für das Jahr, da es das 5. Jahr ist.

Regelmäßige Einzahlungen

Jährliche Einzahlungen bei jährlicher Verzinsung

Herleitung: Ein regelmäßiger Betrag wird pro Jahr auf ein Konto eingezahlt. Geschieht dies am Anfang des Jahres wird vorschüssig gezahlt. Geschieht es am Ende, wird nachschüssig gezahlt.

Bei vorschüssiger Einzahlung eines gleichbleibenden Betrages E ergibt sich folgende Formel:

k_n=E*qⁿ + E*q^n-1 + ... +E*q, da der erste Beitrag n-Mal und der letzte ein Mal verzinst wird.

           Geometrische Reihe

èk_n=E*q* (qⁿ-1)/(q-1)

Bei nachschüssigen Einzahlungen wird der erste Beitrag im ersten Jahr nicht mehr verzinst und der letzte Beitrag gar nicht, weil sie jeweils zum Jahresende erst eingezahlt werden.

Es erfibt sich daher folgende Formel:

k_n= E*q^n-1 + E*q^n-2 +... +E,

           Geometrische Reihe

èk_n=E* (qⁿ-1)/(q-1)

Unterjährige Einzahlungen bei jährlicher Verzinsung

Beispiel monatlicher Einzahlungen:

èGuthaben nach einem Jahr bei vorschüssiger Zahlung

k₁=E*(1+p/100) + E*[1+p*(m-1)/(100*m)] + ... + E*[1+p/(100*m)]

Nach dem Ausmultiplizieren stellt man fest, dass das E genau m-Mal vorhanden ist und man bei den sonstigen Summanden  noch E und p/100 ausklammern kann. Es ergibt sich folgende Formel:

k₁=m*E + E*[1+(m-1)/m + ... + 1/m] * p/100

                          arithmetische Reihe

è k₁=m*E + E*(m+1)/2 * p/100

Nach Ausklammern von E erhält man:

Bei nachschüssigen Einzahlungen erhält man folgende Formel bei gleichem Vorgehen:

Nachdem k₁ berechnet ist, kann man k_n wieder nach der Formel für nachschüssige jährliche Einzahlungen berechnen, da die Zinsen für das erste Jahr ja bereits in k₁ enthalten sind.

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Rentenrechnung

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Die jährliche, konstante Rentenzahlung

Als Rente bezeichnet man einen konstanten Betrag, der einem Anfangskapital zu bestimmten Zeiten entnommen wird. Dabei wird in diesem Fall davon ausgegangen, dass die Rentenzahlung einmal im Jahr, entweder am Anfang (vorschüssig) oder am Ende (nachschüssig) gezahlt wird. Der verbleibende Betrag, der nach Rentenzahlung jeweils noch vom Grundkapital übrigbleibt wird bis zur letzten Auszahlung weiter verzinst. Zu Berechnen ist nun das Restkapital k_n, welches nach n-Jahren noch vorhanden ist. Würde keine Rentenzahlung vorgenommen werden und das Anfangskapital k mit einem Aufzinsungsfaktor q verzinst werden, könnte man die Zinsformel anwenden. (Hier findet sich, falls notwendig, eine gute Erklärung der Zinsformel).

K_n=k*qⁿ

Von dem erhaltenen Betrag müsste nun noch die Rentenzahlung und die Zinsen, die zuviel gezahlt wurden abgezogen werden.

K_n=k*qⁿ-R_n

Es muß also die Summe der Rentenzahlungen abgezogen werden, zuzüglich den Zinsen, die bei einer Verzinsung der Rentenzahlungen mit q enstanden wären.

Bei vorschüssiger Rentenzahlung ergibt sich folgendes R_n:

R_n=r*q*(qⁿ-1)/(q-1)  (r=jährliche Rente)

Bei nachschüssiger Rentenzahlung ergibt sich folgendes R_n:

R_n=r*(qⁿ-1)/(q-1)  (r=jährliche Rente)

Die unterjährige, jährlich verzinste Rentenzahlung

Bei einer unterjährigen, in der Regel monatlichen Rentenzahlung bleibt die Grundformel für die Berechnung des Restguthabens nach n-Jahren gleich. Sie lautet K_n=k*qⁿ-R_n.

Verändern tut sich in diesem Fall die Berechung von R_n. Hier ist auch wieder der Betrag der ausgezahlten Rentenbeiträge zuzüglich den Zinsen, die entstanden wären zu berechnen, da dieser Wert dann von dem ersten Summanden in der Formel abgezogen werden muß, da dieser die Restsumme darstellt, wenn nichts ausgezahlt werden würde und der Betrag mit q verzinst werde würde.

Man kann sich also R_n wie ein Konto vorstellen, das mit q verzinst wird und auf welches regelmäßig ein fester Betrag eingezahlt wird. Aus diesem Grund kann hier die Zinsformel für unterjährige Einzahlungen verwendet werden.

è R_n=R₁*(qⁿ-1)/(q-1)

Für R₁ ergeben sich wieder zwei Formeln, je nachdem, ob der Betrag vorschüssig (1. des Monats) oder nachschüssig (letzter Tag des Monats) ausgezahlt wurde.

• Vorschüssig
  è k₁=r*[m+(m+1)/2 * p/100]
• Nachschüssig
  è k₁=r*[m+(m-1)/2 * p/100]

Um zu Berechnen, wie lange die Rentenzahlung möglich ist, setzt man K_n gleich 0, da in diesem Falle kein Restkapital mehr vorhanden ist. Die Formel wird dann nach n umgestellt.

Folgende Formel würde man durch Umstellung erhalten:

-Ln[-(K/R₁)*(q-1)+1]

N = ---------------------------------

Ln(q)

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Tilgungsrechnung

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Bei einer Tilgungsrechung wird eine Schuld (S) durch eine regelmäßige Rückzahlung wieder zurückgezahlt. Dabei unterscheidet man die Ratentilgung und die Annuitätentilgung. Bei der Ratentilgung wird von der Schuld pro Zahlung ein bestimmter Betrag getilgt und die Zinsen werden zusätzlich gezahlt. Dabei werden die Zinsen immer anhand der Restschuld berechnet, so das die monatliche Zahlungen immer kleiner werden, da durch die sinkende Restschuld die Zinsen auch immer geringer werden.
Bei der Annuitätentilgung hingegen bleibt die Rückzahlungsrate über die gesamte Laufzeit konstant. Dies hat zur Folge, das am Anfang der Betrag der zur Schuldentilgung verwendet wird noch relativ klein ist, da die Zinsbeträge noch relativ hoch sind.

Insgesamt existiert zwischen den Zinsen, der Tilgung pro Zahlung und der Annuität folgender Zusammenhang:

A_i = T_i + Z_i

Das heißt bei konstanter Annuität (A_i=konst.) werden bei hohen Zinsen (Z_i) am Anfang die Tilgungsbeiträge (T_i) relativ klein ausfallen. Umgekehrt wird die Annuität bei konstanter Tilgungsrate am Anfang relativ hoch ausfallen. In der Praxis ist die Annuitätentilgung weiter verbreitet, da sie einen monatlich konstanten Rückzahlungsbetrag ermöglicht und die Anfangsbeiträge nicht so hoch sind wie die bei der Ratentilgung. Nachteil dabei ist die über die gesamte Laufzeit gesehen höhere Zinsbelastung.

Ratentilgung bei jährlicher Zahlung

Da die Tilgungsrate konstant ist, muß bei vorgegebener Laufzeit lediglich die Gesamtschuld durch die Anzahl der Jahre geteilt werden, damit man die Höhe der Tilgungsrate erhält. Dies ist möglich, da die Zinsen immer bei der jeweiligen Zahlung auf den Betrag hinzugerechnet werden und somit auch sofort beglichen werden.

T = Tilgungsrate = konstant

N = Tilgungsdauer in Jahren

S = Gesamtschuld

T= S / N

è Restschuld nach i-Jahren: S_i = S- i* T

Durch ersetzen von T durch S / N und Ausklammern von S erhält man:

è S_i = S * ( 1 – i / N )

Die Zinsen bei der i-ten Rückzahlung ergeben sich durch Aufzinsung des Betrages S_i-1:

è Z_i = S_i-1 * p / 100

Durch einsetzen von S_i-1 in die Restschuldformel ergibt sich:

è Z_i = S * ( 1 - (i – 1)/N ) * p / 100

Die Annuität beträgt dementsprechend: A_i = T + Z_i

Die Summe der Zinsen ergibt sich, indem man die Wert für Z_i aufaddiert:

Z = Z₁ + Z₂ + ... + Z_N
è Z = s*p/100 + (1-1/N)*s*p/100 + ... + (1-(N-1)/N)*s*p/100
Durch Ausklammern von s*p/100 erhält man:

è Z = s*p/100 (1 + 1-1/N + ... + 1- (N-1)/N)

                                       Die 1 ist genau N-mal vorhanden.

è Z = s*p/100 (N - (1/N + 2/N + ... + (N-1)/N))

                                              ^{arithmetische Reihe}

è Z = s*p/100 (N – (N-1)/2 * ( 1/N + (N-1)/N ))

è Z = s*p/100 (N+1)/2

Annuitätentilgung bei jährlicher Zahlung

Bei der Annuitätentilgung wird bei jeder Zahlung der gleiche Betrag zurückgezahlt, bis die Schuld erloschen ist. Man kann dieses Tilgungsverfahren somit mit der Rentenrechnung vergleichen. Auch hier besteht ein Basiskapital, bei der Tilgung entsprechend die Schuld, welches regelmäßig um einen festen Betrag (Rente bzw. Annuität) verringert wird, bis das Basiskapital, bzw. die Schuld gleich Null ist.

è Die Restschuld nach i Jahren lässt sich mit der Formel des Restkapitals nach n Jahren bei der Rentenzahlung berechnen:

S_i = S*qⁱ – A* (qⁱ-1)/(q-1)

Die Zinsen für ein Jahr ergeben sich aus dem Wert S_i-1, d.h. dem Wert, der am Anfang des Jahres als Restschuld besteht und dem Zinssatz p:

Z_i = S_i-1 * p/100 = S_i-1 * (q-1)

Die Dauer der Tilgung wird mit N bezeichnet. Will man nun die Gesamtzinsen über die Laufzeit berechnen, so muß man vom insgesamt zurückgezahlten Betrag (Annuität * Tilgungsdauer) die eigentliche Schuld abziehen:

Z = N * A – S

Ist N bekannt, aber die Annuität gesucht, kann man aus der Formel für die Restschuld die Annuität berechnen, indem man i gleich N setzt. Da nach N Jahren die Schuld getilgt ist, ist S_i folglich 0 und durch Einsetzen und Umstellen erhält man:

A = S*q^N * (q-1)/(q^N-1)

Umgekehrt kann bei bekannter Annuität mit dieser Formel auch die Laufzeit bestimmt werden, indem man nach N umstellt.

Annuitätentilgung bei unterjähriger Zahlung

Analog zur jährlichen Rückzahlung von Schulden, kann auch die unterjährige Rückzahlung auf die Rentenzahlung zurückgeführt werden. Auch hier steht ein Startkapital zur Verfügung, welches in regelmäßigen Beträgen wieder zurückgeführt wird. Es wird dabei lediglich die Rente r durch die Annuität a ersetzt. Die Tilgung erfolgt nachschüssig, da ansonsten von der Schuld bereits die erste Annuität abgezogen werden könnte. Es ergeben sich daher folgende Zusammenhänge, deren Herleitung bereits in der Rentenrechnung ausgeführt wurden.