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Nutzenfunktion

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Der Nutzen ist abhängig vom Verbrauch der Güter x₁ und x₂.

è U=f(x₁,x₂)

Diese Funktion ergibt im Raum ein Gebirge, dass mit zunehmendem x₁ und x₂ wächst, bzw. im Ursprung seinen Tiefpunkt hat.

Durch Partialanalyse erhält man den Nutzen eines Gutes, wobei das zweite Gut konstant bleibt (x₁ oder x₂ konstant setzen). Desweiteren lässt sich durch Konstantsetzen von U eine Kurve ermitteln, die alle gleichwertigen (indifferenten) Kombinationen von x₁ und x₂ enthält, die denselben Nutzen haben.

èDie Indifferenzkurve ist eine Nutzenfunktion mit konstantem U

Das Nutzengebirge:

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Die Gossen´schen Gesetze

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Graph der partiellen Nutzenfunktion nach x₂ èx₂ = konstant

• Anstieg der Funktion immer positiv, verringert sich jedoch stetig

Nutzenplafond = angestrebter Grenznutzen, der jedoch nie erreicht wird

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Die partielle Nutzenfunktion für ein konstantes Nutzenniveau

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Es ergibt sich beim Konstantsetzen von U eine Indifferenzkurve = eine Linie gleichen Nutzenniveaus.

Gründe für die Form der Kurve:

• Mehrverbrauch mit fallendem Nutzenniveau ist nicht möglich (Axiom 4)
• Krümmung begründet durch abnehmende Grenzrate der Substitution (Axiom 6)
• Kurve gilt für, zumindest teilweise, substituierbare Güter
• Bei perfekten Substituten wird die Indifferenzkurve zur Gerade, da es egal ist, welches der beiden Güter man gegen welches eintauscht. Die Güter werden zu jedem Zeitpunkt in einem festen Verhältnis getauscht. Graph:
  
• Komplementäre Güter ènicht austauschbare Güter: Diese Güter können nicht gegeneinander ausgetauscht werden, da sie beide stets in einem bestimmten Verhältnis gebraucht werden. Bsp.: bei einem Paar Schuhe macht es keinen Sinn, den rechten Schuh gegen einen weiteren linken einzutauschen, da nur ein linker mit einem rechten Schuh gemeinsam Sinn machen. Graph:
  
  Nur gemeinsame Verbrauchsmengen im stets gleichen Verhältnis bringen Nutzenzuwachs.
• Unterstellung, das bei einem Mehr an Konsum der Nutzen gleich bleibt:
  Graph:
  
  Interpretation:
  • A<B<C (bezogen auf den Nutzen)
  • C= Bliss point = Punkt des höchsten Nutzens= Nutzenmaximum
  • D=B vom Nutzen, trotz Güterzuwachs (Axiom 4 gilt nicht)èdurch eine Kostenbetrachtung wird D zu teuer und damit ökonomisch nicht relevant
  • Zwischen B und C entstehen zwar auch höhere Kosten, die jedoch durch einen Nutzenzugewinn ausgeglichen werden
  • èNur der markierte Bereich ökonomisch relevant
• Indifferenzkurven dürfen sich nicht schneiden. Graph:
   Es gilt: A=B und A=C (vom Nutzen)
  Damit müsste nach Axiom 4 gelten: B=C
  Nach dem Graph gilt jedoch: B>C èVerstoß gegen Axiom 4 èSchnittpunkte nicht erlaubt.

Der optimale Verbrauchsplan

Der Verkaufsplan ist eine Kombination aus Bilanzgerade und Indifferenzkurve in einem Diagramm:

• Alle Schnittpunkte der Bilanzgeraden mit den Indifferenzkurven stellen mögliche Kombinationen dar
• A=B=C, jedoch wird bei B nicht alles konsumiert èVerstoß gegen die Nebenbedingung c=x₁*p₁ + x₂*p₂èPunkte unterhalb der Bilanzgerade irrelevant
• Ziel: höchstmögliche Indifferenzkurve erreichen èim Beispiel: D
• Oberhalb der Bilanzgerade ist der maximale Konsum überschritten èirrelevant
• Bei perfekten Substituten, kann nut das Nutzenniveau, nicht jedoch die Kombination der Güter festgestellt werden, da zu viele gleichwertige Kombinationen entstehen.
  èDeckung von Bilanzgerade und Indifferenzkurve

Analytische Berechnung

Ermittlung eines Extremwertes unter Nebenbedingungen nach dem Langrange-Multiplikationsverfahrens:

Funktion: U = f(x₁,x₂) = x₁²*x₂ (Beispiel)

Nebenbedingung: c=x₁*p₁ + x₂*p₂         (c=60; p₁=4; p₂=1)

Umstellung der Nebenbedingung (eine Seite=0): 0=c - x₁*p₁ - x₂*p₂ = 60 – 4 * x₁ - x₂

Langrangefunktion:

Alternativ kann man auch in das 2. Gossen´sche Gesetz einsetzen und dann nach einer Variablen umstellen, und diese dann in die Nebenbedingung einsetzen: