Weitere
Skripte und mehr findet ihr auf meiner Homepage. Bitte wählt
eine Kategorie! |
- Als Zufallsvariable X wird eine Abbildung bezeichnet, die jedem möglichen Ereignis eines Zufallsvorganges eine reelle Zahl zuordnet.
- è
- Rechnen mit der Zufallsvariable bietet sich an, wenn es sich um sehr viele Ereignisse handelt (Unfälle) oder die Zahl der Ereignisse nicht festlegbar ist (Wartezeit an der Kasse)
- Jedes Ereignis läßt sich in eine reelle Zahl umwandeln (z.B. Kopf=1 und Zahl=0 beim Münzwurf)
- Diskrete Zufallsvariable: Wertebereich ist endlich oder abzählbar (ganze Zahlen, z.B. Zahl der Unfälle)
- Stetige Zufallsvariable: Wertebereich überabzählbar (reelle Zahlen, z.B. Wartezeit)
- Nährungsweise stetig: große Geldbeträge, da es sich hier durch marginale Pfennigbeträge um sehr sehr viele Ereignisse handelt.
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Verteilungsfunktion:
èF(2,5)=p0+p1+p2
Problem: Durch die Begrenzung der Beobachtungswerte können nicht alle möglichen Ereignisse erfasst werden. Daher sind diese Berechnungsmethoden nur näherungsweise.
Voraussetzungen:
Beispiel:
Ein Händler erhält im Laufe eines Tages n Schecks. X ist die Zahl der ungedeckten Schecks unter den n erhaltenen.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion pk=P(X=k) mit k=0,1,2,...,n.
X=X1+X2+...+Xn
Beispiel:
Gütekontrolle von CD-Rohlingen
Hersteller verspricht, dass sich in einer Packung à 100 Stk. max. 3 defekte Rohlinge befinden.
Abnehmer prüft n Stück aus einer Packung. X ist dabei die Zahl der defekten Rohlinge in der Stichprobe.
N=Umfang der Gesamtheit (Packungsinhalt)
M=Anzahl der defekten Einheiten in der Gesamtheit (Annahme: ungünstigster zulässiger Fall für den Hersteller, d.h. 3 Stück)
n=Stichprobenumfang
Betrachtete Stichprobe: N=100; M=3 und n=10
èErgebnis:
Sollte der Hersteller eine Probe mit 3 defekten Rohlingen haben, so sind Zweifel
an der Glaubwürdigkeit der Herstellerangaben zu stellen
èDie Toleranzgrenze, damit
eine Angabe als realistisch erscheint, liegt bei 5%
Binominalverteilung: jedes Element wird nach Prüfung wieder in die Menge zurückgelegt
Hypergeometrische Verteilung: jedes Element wird nach der Prüfung nicht zurückgelegt
èfür Zufallsvariablen, für die kein Maximalwert feststellbar ist (z.B. Anzahl der Autounfälle, Zahl von Rohrbrüchen oder Anrufen)
Bsp.: Täglicher Wasserverbrauch pro Tag oder Wartezeit an der Kasse
èkeine exakte Messung möglich èdaher èes gibt daher keine Wahrscheinlichkeitsfunktion, sondern nur eine Dichtefunktion
Wahrscheinlichkeit für x innerhalb eines Intervalls:
Da mit sinkendem h die Kurve immer flacher verläuft, wird sie durch h dividiert.
è
Durch die unendlich große Zahl der Wert lässt sich die Verteilungsfunktion nicht als Summe der Werte darstellen, sondern nur als Fläche unter der Dichtefunktion
è
èDie
Wahrscheinlichkeit des Eintretens ist für jedes Element gleich
èa = Untere Grenze der Werte
èb = Obere Grenze der Werte
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Beispiel: Abstand zwischen 2 Anrufen in einer Telefonzentrale
k ist mittlere Anzahl der Ereignisse pro Einheit (z.B. Anrufe pro Minute
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
F(x) ist monoton wachsend |
Besonderheit der Exponentialverteilung:
Es gilt:
Betrachtung der bedingten Wahrscheinlichkeit:
P(X>x+h/X>h) (Interpretation: z.B. Wahrscheinlichkeit, dass in den nächsten x Minuten kein Anruf kommt, unter der Bedingung, dass bereits h Minuten vergangen sind.
Somit ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit gleich der bedingten Wahrscheinlichkeit =Nichtalterung
Interpretation: Die Wahrscheinlichkeit, dass in den nächsten 5 Minuten kein Anruf kommt ist egal wie viel Zeit bereits vergangen ist
Diese Betrachtung gilt nur für die Exponentialverteilung.
Dichtefunktion
|
Verteilungsfunktion
Der Wert für wir aus der Normalverteilungstabelle entnommen |
Für negative Z gilt:
Berechnung des 25%-Quartils und des 75%-Quartils:
75%-Quartil:
25%-Quartil: z0,25=-z0,75
èAsymmetrische Verteilung:
Durch logarithmieren der Werte wird wieder eine näherungsweise normalverteilte Funktion hergestellt.
Y=ln(X)
|