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Vektoren und Matrizen
Vergleichsoperationen, Addition und Subtraktion
Matrix = rechteckiges Zahlenschema
Bezeichnung mit lateinischen Großbuchstaben
Elemente der Matrix werden in Kleinbuchstaben angeben
è
a
12
= das Element der Matrix, was in der 1. Spalte in der 2. Zeile steht
Typ der Matrix: m x n (Spalten x Zeilen)
Rechenoperationen mit Matrizen:
Vergleich von Matrizen:
Gleicher Typ erforderlich
Gleiche Matrizen stimmen elementweise überein
A=B
è
a
ij
=b
ij
A<B, wenn a
ij
<b
ij
A>B analog
A<=B, wenn a
ij
<=b
ij
A>=B analog
è
es wird deutlich, dass z.T. keine klare Größenrelationsangabe möglich ist, sondern nur die Angabe, dass zwei Matrizen ungleich sind
Addition und Subtraktion
Gleicher Typ erforderlich
A=(a
ij
) und B=(b
ij
) Typ: m x n
C= A+B
è
c
ij
= a
ij
+ b
ij
Subtraktion analog
Multiplikation mit einem Skalar
Spezialfall der Addition: C= A+A+A = k * A
è
c
ij
= k*a
ij
allgemein: D=
Es gelten folgende Rechenregeln:
A+B = B+A (Kommutativgesetz)
A+0 = A (0=Nullmatrix
)
A+B+C = (A+B)+C = A+(B+C) (Assoziativgesetz)
a*(A+B) = aA+aB und (a+b)*A = aA+bA (Distributivgesetz)
A-B = A+ (-1)B
Beispiel:
Multiplikation von Matrizen
Grundprinzip der Multiplikation: Zeile mal Spalte!!!
Matrix mal Spaltenvektor
(Spaltenvektor ist ein vertikaler Vektor!)
b= Ergebnisvektor
A= Matrix (Typ m x n)
x=Spaltenvektor mit n Zeilen
mit
z.B. b
3
bei einer 3 x 3 Matrix A setzt sich zusammen aus: b
3
=a
31
*x
1
+a
32
*x
2
+a
33
*x
3
Die Summe der Zeile eines Vektors erhält man durch Multiplikation mit dem Vektor
Zeilenvektor mal Matrix
(Zeilenvektor ist ein horizontaler Vektor)
c
T
=y
T
* A
c
T
= Zeilenvektor bzw. transponierter Spaltenvektor
mit
Die Summe der Spalte eines Vektors erhält man durch Multiplikation mit dem Vektor
z.B. c
3
bei einer 3 x 3 Matrix A setzt sich zusammen aus: c
3
=a
13
*y
1
+a
23
*y
2
+a
33
*y
3
Matrix mal Matrix
c
ij
= i-te Zeile von A * j-te Spalte von B =
c
23
= 2. Zeile von A mit der 3. Spalte von B elementweise verknüpft
= a
21
*b
13
+ a
22
*b
23
+ .... +a
2n
*b
n3
Rechenregeln bei der Multiplikation
A*I
n
=A*I
m
= A mit I=Einheitsvektor (
)
A*0 = 0*A = 0 (0=Nullmatrix)
A*(B+C) = AB +AC
(A+B)*C = AC +BC
A(BC) = (AB)C = ABC
Aber: es gilt nicht AB=BA
Transponierte Matrix
A
T
= transponierte Matrix, d.h. Zeilen und Spalten von A wurden vertauscht
Ist die transponierte Matrix gleich der Originalmatrix, dann gilt sie als
symmetrische Matrix
Beispiel:
Division von Matrizen
A
-1
= inverse Matrix von A
è
gibt es nur für quadratische Matrizen
Es gilt: A*A
-1
=A
-1
*A=I
Gleichung: A*B=C
Ermittlung von A: A*B*B
-1
=C*B
-1
(Multiplikation von rechts)
è
A=C*B
-1
Ermittlung von B: A
-1
*A*B = A
-1
*C (Multiplikation von links)
è
B=A
-1
*C
Bestimmung der inversen Matrix für eine 2x2 Matrix: