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Lineare Gleichungssysteme

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Allgemeine Form:

Matrizenschreibweise:

 èA*x=b è

wenn die inverse Matrix von A existiert, gilt: x=A^-1*b

èdies erspart Arbeit, wenn A^-1 einmal berechnet ist, und sich die Werte für b ändern

Der Gaußsche Algorithmus

Stück für Stück werden im Gleichungssystem die variablen eliminiert, so dass in der ersten Gleichung nur noch x₁, in der zweiten x₂ usw. steht.

èZiel ist es, folgende Matrix zu erhalten:

Lösbarkeit von Gleichungssystemen

• n= Zahl der Variablen
• m = Zahl der Gleichungen
• r = Dimension der erreichten Einheitsmatrix nach dem gaußschen Algorithmus (die nicht eliminierbaren Variablen gehören somit nicht dazu)
  • Beispiele:
• Ein Gleichungssystem ist lösbar, wenn gilt:
  • r=m
  • oder r<m und alle anderen Zeilen, die nicht in der Einheitsmatrix sind, sind komplett Null und b_i ist auch 0
• Wenn ein Lösungssystem lösbar ist, so gibt es:
  • 1 Lösung, wenn n=r
  • unendlich viele Lösungen, wenn n>r

Bestimmung der inversen Matrix

• Lösung des folgenden Gleichungssystems: (A|I) èdurch Gauß zu è(I| A^-1)
• 
• dabei wird jede Spalte des Einheitsvektor als Gleichungssystemvektor b angesehen, d.h. es werden n Gleichungssysteme gleichzeitig gelöst

Input-Output-Modelle nach Leontieff

• Es gilt:
• Um eine Normung der x_ij-Beträge durchzuführen und somit stabiliere Kennzahlen zu erhalten, berechnet man die Produktionskoeffizienten  èx_ij=a_ij*X_j
• Die Tabelle aller a_ij ergibt die Matrix A
• Es gilt somit:
  
• Somit gilt: y= (I-A)x

Sollten statt Geldbeträgen Mengeneinheiten angegeben sein und die Verrechnungspreise gesucht, so ist folgendes Gleichungssystem zu lösen:

Gesamtleistung Stelle 1 * x₁ = Primarkosten Stelle 1 + Summe(Empfange Leistungen von anderen Stellen * x_i) èx_i = Verrechnungspreis der Stelle i

èdiese Gleichung wird für jede Stelle aufgestellt

Gleichungssystem in Matrixform:

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Lineare Ungleichungssysteme

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Lösungsmenge

• Die Begrenzungen der Lösungsmenge müssen Geraden oder Ebenen sein (ergeben sich, wenn man die > bzw. < Zeichen durch ein = ersetzt)
• Lösungsmenge ist ein Vieleck
• Lösungsmenge ist konvex, d.h. wenn man zwei Punkte der Lösungsmenge wählt und diese verbindet, so liegen alle Punkte der Verbindungslinie ebenfalls in der Lösungsmenge
• Die Ungleichungen werden auch Restriktionsgleichungen genannt

Kanonische Form linearer Ungleichungen

èA = Koeffizientenvektor; x= x-Variablen-Vektor; b=Konstantenvektor

Eigenschaften:

• Jedem Punkt x wird eindeutig ein Punkt  in der kanonischen Form zugeordnet
  èes entstehen Vektoren der Form:  èAnzahl der Restriktionsgleichungen = Anzahl dieser Vektoren, da die x-Werte in jede der Restriktionsgleichungen eingesetzt werden und für jede dieser Gleichungen ein Set von u-Variablen ergeben
• Ein Punkt (x) ist genau dann zulässig, wenn der Vektor >=0 ist
• Es liegt eine Ecke der Lösungsmenge vor, wenn mindestens n Elemente des -Vektors = 0 sind (n= Anzahl der x-Variablen)
• Die Elemente des Vektors , die 0 sind, deren Restriktionsgeraden sind durch die Ecke berührt